Zahlensysteme

Erklärung negative Binärzahlen

Computer arbeiten immer mit fixen Bitlängen. Zum Beispiel sind moderne Computer 64-Bit Computer. Das heisst, sie rechnen intern immer mit Zahlen mit einer Länge von 64 Bit.In den 80er-Jahren hingegen war 8-Bit der Standard. Lass uns einen solchen betrachten:

Möchte ein solcher Computer die Dezimalzahl 42 speichern, so speichert er die Binärzahl $0010\,1010$ . Beachte, dass die beiden Nullen links eigentlich unnötig sind, aber es müssen immer alle Bits gesetzt sein. Ein solcher Computer kann insgesamt $2^8 = 256$ verschiedene Zahlen darstellen. Wenn man einen Computer hat, der nur mit positiven ganzen Zahlen rechnen soll, ist die kleinste Zahl $0000\,0000 = 0$ und die grösste $1111\,1111 = 255_{10}$ . Wenn man aber einen Computer haben möchte, der sowohl positive als auch negative Zahlen darstellen kann, müssen sich die positiven und negativen Zahlen die $256$ möglichen Plätze teilen. Der Fairness halber macht es Sinn, dass die positiven und negativen Zahlen jeweils die Hälfte der möglichen Plätze erhalten.

Es wird dann so gemacht, dass positive Zahlen mit einer $0$ links beginnen und negative Zahlen mit einer $1$ . Die Dezimalzahl $+42$ wäre dann also die Binärzahl $0010\,1010$ . Doch welcher Dezimalzahl entspricht $1010\,1010$ ? Auf den ersten Blick mag es Sinn machen, zu denken, dass dies die Dezimalzahl $-42$ sei.

Beispiel binäre Subtraktion

Wir wollen berechnen 1101001 - 11101, wobei beide Zahlen als positive Zahlen aufzufassen sind. Bei der Subtraktion wird die erste Zahl Minuend, die Zweite Subtrahend genannt.

Befülle mit 0, so dass beide gleich lang: 1101001 - 0011101
Füge links ein zusäzliches Bit hinzu, damit wir auch negative Zahlen haben können: 01101001 - 00011101
Finde 2er-Komplement von Subtrahend (Invertieren, +1): 11100011
Addiere Minuend mit 2er-Komplement von Subtrahend: 01101001 + 11100011 = …
Entferne Bit ganz links, da dieses nur für die Berechnung verwendet wurde: 1001100

Tipps: Code binäre Subtraktion

Implementiere die Inversion (Umkehrung) einer Binärzahl, optimalerweise in einer eigenen Funktion.
2er-Komplement: Verwende dazu deinen Code/deine Funktion von 1. und addiere dann „1“ dazu. Dazu kannst du deine binary_add()-Funktion von früher verwenden.
Addiere zum Minuend das 2er-Komplement des Subtrahends. Verwende dazu wieder die binary_add().

Binary to Decimal

Verschiedene Versionen:

def binary_to_decimal_1(b):
    d = 0 # decimal nr
    i = 0
    while i < len(b):
        d = d + int(b[len(b)-i-1]) * 2**i # len(b)-i-1 to go through b in reverse order
        i = i + 1
    return d
 
def binary_to_decimal_2(b):
    d = 0 # decimal nr
    i = 0
    while i < len(b):
        d = d + int(b[-i-1]) * 2**i # can also use negative indices to go through d in reverse order
        i = i + 1
    return d
 
def binary_to_decimal_3(b):
    d = 0 # decimal nr
    i = len(b) - 1
    power = 1
    while i >= 0:
        d = d + int(b[i]) * power
        power = power * 2
        i = i - 1
    return d

Decimal to Binary

def decimal_to_binary(d):
    b = ''
    while d > 0:
        b = str(d % 2) + b
        d = d // 2
    return b

Binary Operations

def binary_add(b1,b2):
    # make sure strings have same length
    while len(b1) < len(b2):
        b1 = '0' + b1
    while len(b1) > len(b2):
        b2 = '0' + b2
 
    # add binary string
    summe = ''    
    i = len(b1) - 1
    carry = '0'
    while i >= 0:
        if b1[i] == '0' and b2[i] == '0' and carry == '0':
            summe = '0' + summe
            carry = '0'
        elif b1[i] == '1' and b2[i] == '1' and carry == '1':
            summe = '1' + summe
            carry = '1'
        elif (b1[i] == '1' and b2[i] == '1' and carry == '0') or (b1[i] == '1' and b2[i] == '0' and carry == '1') or (b1[i] == '0' and b2[i] == '1' and carry == '1'):
            summe = '0' + summe
            carry = '1'
        else:
            summe = '1' + summe
            carry = '0'
        i = i - 1
    if carry == '1':
        summe = '1' + summe
    return summe
 
def invert(b):
    inv = ""
    i = 0
    while i < len(b):
        if b[i] == '0':
            inv = inv + '1'
        else:
            inv = inv + '0'
        i = i + 1
    return inv
 
def complement(b):
    b = invert(b)
    b = binary_add(b,'1')
    return b
 
def binary_sub(b1,b2): # calc b1-b2
    # make sure strings have same length
    while len(b1) < len(b2):
        b1 = '0' + b1
    while len(b1) > len(b2):
        b2 = '0' + b2
 
    # add additinal zero at left (for negative numbers)
    b1 = '0' + b1
    b2 = '0' + b2
 
    result = binary_add(b1,complement(b2))
    result = result[1:] # remove first bit
 
    while result[0] == '0': # remove all zeros at beginning (optional)
        result = result[1:]
    return result

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