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--- talit:csharp_oop_sca [2025-06-16 10:05] – [Physik] sca
+++ talit:csharp_oop_sca [2025-06-16 14:47] (aktuell) – [Physik] sca
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 ===== - Auftrag: Simulation des N-Body-Problems mit MonoGame =====
-**Ziel: Orbits von $N$ Himmelskörpern, die sich gegenseitig anziehen mittels des Newton'schen Gravitationsgesetztes.**
+**Ziel:** Schreibe mit C# und MonoGames eine Simulation der **Orbits von $N$ Himmelskörpern**, die sich gegenseitig mittels des Newton'schen Gravitationsgesetztes anziehen. Programmiere deinen Code schön und strikt **objektorientiert**. Natürlich soll dabei die eigene **Vektor-Klasse** so viel wie möglich verwendet werden.
+Tipps:
+   * Starte mit dem **2-Körperproblem** und erweitere es dann zu beliebig vielen Körpern.
+   * Machst du eine strikte Trennung von **Model und View**, kannst du deinen Code später besser wiederverwenden.
 ==== Physik ====
-Beim N-Body-Problem betrachtet man $N$ Himmelskörper $i=1,\ldots,N$, jeweils mit Masse $m_i$, an Position $\vec{r}_i$ und aktueller Geschwindigkeit $\vec{v}_i$. Die Gravitationskraft, die auf einen Himmelskörper $i$ aufgrund der Präsenz eines anderen Himmelskörpers $k$ wirkt ist:
+Beim N-Body-Problem betrachtet man $N$ Himmelskörper $i=1,\ldots,N$, jeweils mit Masse $m_i$, an Position $\vec{r}_i$ und aktueller Geschwindigkeit $\vec{v}_i$. Die Gravitationskraft, die auf einen Himmelskörper $i$ aufgrund der Präsenz eines *einzelnen* anderen Himmelskörpers $k$ wirkt ist:
 $$\vec{F}_{ik} = G m_i m_k \frac{\vec{r}_k-\vec{r}_i}{|\vec{r}_k-\vec{r}_i|^3}$$
+Da aber alle anderen $N-1$ Himmelskörper eine solche Gravitationskraft auswirken, müssen sämtliche einzelnen Kraftvektoren aufsummiert werden (Superpositionsprinzip), die **resultierende Kraft** ist dann also:
+$$\vec{F}_{i} = G m_i \sum_{k=1,k\neq i}^N m_k \frac{\vec{r}_k-\vec{r}_i}{|\vec{r}_k-\vec{r}_i|^3}$$
+Ein Problem, das oft auftaucht, ist das folgende: Kommen sich zwei Massen sehr nah, so wird $|\vec{r}_k-\vec{r}_i|^3$ extrem klein. Dadurch wird die Kraft sehr gross und eine Masse kann dann regelrecht aus dem Bildschirm geschleudert werden. Dies soll verhindert werden. Dazu addiert man dem Nenner einen kleinen konstanten *Softening-Term* $s$:
+$$\vec{F}_{i} = G m_i \sum_{k=1,k\neq i}^N m_k \frac{\vec{r}_k-\vec{r}_i}{(|\vec{r}_k-\vec{r}_i| + s)^3}$$
+==== Idee Code ====
-==== Struktur des Projekts ====
+Um die Bewegung der Himmelskörper zu simulieren, legt man die **Anfangsbedingungen (Initial Conditions)** fest: Anfängliche Position $\vec{r}\_i$ und Geschwindigkeit $\vec{v}\_i$ (und natürlich auch Masse) von jedem Himmelkörper $i$.
-Strukturiere dein Projekt nach dem **Model-View-Controller (MVC)** Muster:
+Im Code geht man dann in einer Schleife alle $N$ Himmelskörper durch. In jedem Durchgang wird dann die Position und Geschwindigkeit von jedem Himmelskörper $i$ updated:
+. Berechne mithilfe der Formel oben die **resultierende Kraft**, die auf den Himmelskörper $i$ wirkt.
+. Berechne daraus die tatsächliche **Beschleunigung** des Himmelskörpers: $$\vec{a}\_i = \frac{\vec{F}\_i}{m\_i}$$
+. Nutze diese, um den Geschwindigkeitsvektor des Himmelskörpers zu updaten: $$\vec{v\_i} \rightarrow \vec{v\_i} + \Delta t \cdot \vec{a\_i}$$ Dabei ist $\Delta t$ ein kleiner konstanter Zeitschritt: Je kleiner, desto genauer aber auch ineffizienter wird die Simulation. $\Delta t = 1 [\text{s}]$ ist ein guter Startwert.
+. Mit dem neuen Geschwindigkeitsvektor wird nun der Positionsvektor updated: $$\vec{x\_i} \rightarrow \vec{x\_i} + \Delta t \cdot \vec{v\_i}$$
+**Kontrolle:** Um zu kontrollieren, ob der Code sich richtig verhält, kann man zu jedem Zeitpunkt den **Schwerpunkt** des Gesamtsystems (alle Himmelskörper zusammen) betrachten. Der Schwerpunkt muss **unbeschleunigt** sein, er muss also entweder in Ruhe sein oder sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Geraden bewegen. Wird der Schwerpunkt schneller oder langsam oder bewegt er sich auf einer gekrümmten Bahn, so muss ein Fehler vorliegen. Wie der Schwerpunkt berechnet wird, kann im **[[https://sca.ksr.ch/lib/exe/fetch.php?media=pham_physik_sca:pham_statik_01_schwerpunkt.pdf|PHAM Dossier zum Schwerpunkt (Siehe Formel unter 'Diskrete Massenverteilung')]]** nachgeschlagen werden.